Рассмотрены методы графического построения золотой пропорции. Прослеживается история поэтапного развития взглядов на проблему золотого сечения как «закона красоты». Приведены числовые соотношения, наиболее часто применяемые в искусстве для приближений деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Предложена оригинальная схема построения «золотого прямоугольника» на базе аппликации, предложенной Леонардо да Винчи для решения задачи о квадратуре круга.
золотое сечение, геометрия, математика, магия цифр.
Термин «золотое сечение» появился в математике XVII столетия (различные источники приписывают его разным авторам), но соотношения, о которых идет речь, применяются на практике с глубокой древности и прослеживаются еще в древнеегипетской скульптуре и архитектуре эпохи Древнего царства (см., напр. [4]). Геометрическая интерпретация этого соотношения дана в IV книге «Начал» Евклида [7, с. 173–174] в связи с делением окружности на 5 и 10 равных частей, а также построением правильной пятиконечной звезды, которая, являясь в античные времена эмблемой тайного общества пифагорейцев, прошла через Зрелое Средневековье в качестве символа масонских лож и, наконец, в XX столетии оказалась в государственной символике СССР и США.
Гете в первой сцене Фауста с Мефистофелем приписывает этому символу, называемому пентаграммой, магические свойства, подавляющие волю дьявола и не позволяющие ему покинуть комнату. На самом деле отрезки, составляющие правильный пятиугольник и вписанную в него пентаграмму, либо равны между собой, либо находятся в соотношении, которое в искусстве и Античности, и Нового времени рассматривалось как проявление Божественного Закона Красоты (рис. 1).
Первый систематический научный труд с исследованием пропорций, и в особенности рассматриваемого соотношения, принадлежит, видимо, тосканскому монаху [6, с. 154–158] Луке Пачоли (1445–1517) и опубликован в 1509 г. под названием De divina proportione («О Божественной пропорции»). Считают, что знаменитые геометрические рисунки Леонардо да Винчи выполнены в качестве иллюстраций для этого издания.
Прежде всего важно отметить, что подходы к проблеме золотой пропорции как математического закона красоты — в разные эпохи отличались примерно так же, как и подходы к математике вообще. Их можно пояснить с помощью заголовков в лекциях по математике великого Феликса-Христиана Клейна (см. [4]):
Античный мир — Геометрия;
Средневековье — Алгебра;
Новое время — Анализ.
1. Бутусов К.П. «Золотое сечение» в Солнечной системе // Труды ВАГО. Вып. 7. М.-Л., 1978.
2. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 2000.
3. Ивлев С.А. Художественная культура Древнего Востока. М., 2001.
4. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1 / Пер. с нем. Д.А. Крыжановского. М.-Л., 1933.
5. Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. М., 1997.
6. Кэджори Ф. История элементарной математики / Пер. с англ. под ред. И.Ю. Тимченко. Одесса, 1910.
7. Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями М.Е. Ващенко-Захарченко. Киев, 1880.
8. Радзюкевич А.В. Красивая сказка о «золотом сечении» // Академия Тринитаризма. URL: www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320016.htm
9. Рудио Ф. О квадратуре круга. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр / Пер. с нем. под ред. С.Н. Бернштейна. М.-Л., 1936.
10. Тимердинг Г.Е. Золотое сечение / Пер. с нем. под ред. Г.М. Фихтенгольца. Петроград, 1924.
11. Zorko G.F. Nuovo grande dizionario Italiano-Russo. M., 2006.
