г. Казань, Россия
Россия
сотрудник
Россия
УДК 60 Прикладные науки. Общие вопросы
ГРНТИ 30.01 Общие вопросы механики
Исследования проводили с целью проектирования (синтеза) функционального пространственного пятизвенного механизма с вращательными парами (5R механизма), воспроизводящего движение выходного звена на рабочих участках по линейной функции с заданной точностью. В историческом развитии механизмов был известен семизвенный механизм с вращательными шарнирами, который до сих пор не нашел применения в технике. Достаточно широко используют сферический механизм Кардана-Гука. В 1903 г. английским математиком Беннеттом был описан пространственный четырехзвенный механизм со скрещенными геометрическими осями шарниров, работоспособную модель которого он не смог изготовить. Интерес к механизму Беннетта проявляли ученые во всем мире, но никто из них долгое время не мог изготовить даже его модель, не говоря о производственном образце. Разрешить проблему в полной мере удалось казанским ученым, которые фундаментально раскрыли новое научное направление о пространственных механизмах только с вращательными шарнирами. Были образованы сотни новых, ранее неизвестных механизмов и устройств на их базе, изготовлены не только в моделях, но и внедрены в производство. Сейчас ведутся работы по дальнейшему исследованию механизмов этой группы, в частности, проектирование пространственного пятизвенного механизма по заданному движению выходного звена. В результате проведенных исследований получены целевая функция и зависимости, необходимые для проектирования механизма. Разработан и достаточно подробно описан алгоритм решения указанной задачи в CAD для двух типов пространственных пятизвенников: с одинаковыми углами скрещивания геометрических осей шарниров стойки и выходного звена, равными 900 и с указанными углами, дополняющими друг друга до 1800
пространственный пятизвенный механизм, вращательные шарниры, проектирование, целевая функция, закон движения выходного звена, линейная функция
Общеизвестно, что механизмы (плоские и пространственные) входят в состав многих машин и устройств и используются человеком в практической деятельности с древнейших времен [1, 2, 3]. Пространственные механизмы для соединения звеньев имеют в основном шаровые, шаровые с пальцем, цилиндрические, сферические и вращательные шарниры. Затруднений в образовании пространственных механизмов с набором указанных кинематических пар нет, их можно конструировать сотнями. Но простоту создания механизмов нивелируют сложность изготовления шаровых шарниров, малый срок службы, ограничения по несущей силовой способности и ряд других недостатков [4, 5, 6]. Предпочтительнее во всех отношениях в механизмах иметь только вращательные шарниры, оформляемые стандартными подшипниками качения или скольжения, у которых значительно выше силовые передаточные показатели и срок службы, они технологичнее в изготовлении, легко изолируются от агрессивной внешней среды.
В истории механизмов и техники нет другого примера столь длительно по времени нахождения в состоянии становления и развития, как разработка пространственных механизмов только с вращательными шарнирами. Был известен семизвенный механизм, который до сих пор не нашел применения в технике [7]. Другие механизмы на сегодняшний день не известны. В 1903 г. английский математик Беннетт предложил разработанный экспериментальным путём четырехзвенный механизм со скрещенными осями шарниров, работоспособную модель которого он изготовить не смог [8]. Интерес к пространственным механизмам с вращательными парами проявляли ученые во всем мире, но только с теоретической точки зрения, поскольку никто из них не смог изготовить даже его модель, не говоря о производственном образце. Такая ситуация была обусловлена тем, что развитие этих механизмов сталкивалось с неразрешимыми проблемами при исследовании, а особенно при изготовлении и использовании в технике [9, 10, 11].
На наш взгляд, основные причины возникавших затруднений заключаются в следующем. Звенья такого механизма, например, четырехзвенного, имеют скрещенные геометрические оси шарниров, поэтому условие совпадения кратчайших расстояний между ними (теоретических длин звеньев) не все исследователи понимали по существу и конкретности. Дело в том, что у некоторых звеньев такие расстояния измеряются не по их телам, а вне тел. В результате в изготовленных моделях концы кратчайших расстояний не совпадали, и механизм не мог быть работоспособным.
К потере работоспособности изготовленных моделей приводило и не соблюдение другого условия: «кратчайшие расстояния (длины звеньев) должны быть пропорциональны синусам соответствующих углов скрещивания». Ученые не знали особенности технологии изготовления звеньев (два кривошипа и стойка),
у которых кратчайшее расстояние находится вне их материального.
Решить проблему в полной мере удалось казанским ученым Б. В. Шитикову [12] и его ученику П. Г. Мудрову [13], которые раскрыли новое научное направление о пространственных механизмах только с вращательными шарнирами. В результате были созданы сотни новых, ранее неизвестных механизмов, работоспособность которых подтверждена сконструированными по уникальной технологии моделями и устройствами на их базе на уровне изобретений. После этого начался второй этап большой исследовательской работы – определение диапазона и сферы практического применения таких механизмов в технике.
Цель представленного исследования – проектирование пространственного пятизвенного шарнирно-рычажного механизма для использования его в автоматизированной линии для точного воспроизведения линейного закона движения рабочего органа.
Условия, материалы и методы исследований. Анализ пространственных механизмов с вращательными парами [14, 15, 16] с учётом возможности лучшей конструктивной реализации структурных схем и требуемой точности воспроизведения линейной функции показал, что для возвратно-вращательного движения с рабочими участками на прямом и обратном ходе представляют интерес кривошипно-коромысловые пятизвенники, у которых углы скрещивания геометрических осей шарниров смежных звеньев 4 и 5 равны равны α4 = α5 = 90° (рисунок 1).
(1г)
Здесь и далее αi – угол скрещивания геометрических осей шарниров звена, отсчитываемый против часовой стрелки, принимая за начало отсчёта ось шарнира, обращенного к наблюдателю, li – кратчайшее расстояние между осями шарниров (теоретическая длина звена).
Структурные зависимости для пятизвенника второго типа, а также его модификации в четырёхзвенном исполнении, где звено 2 с нулевой теоретической длиной заменено сферическим шарниром, (см. рисунок 2), следующие:
(2а)
(2б)
(2в)
(2г)
Рисунок 2 – Кинематические схемы разновидностей пространственного пятизвенника:
а) с зависимостью углов
α4 = 180° – α5; б) с одной сферической парой;
ψm– угол максимального поворота (ход) выходного звена; остальные обозначения такие же,
как на рисунке 1
Рассмотрим эти механизмы и определим их возможности для проектирования (синтеза) по заданным условиям. Полученные данные и формулы будут использованы для разработки алгоритма проектирования механизмов в CAD.
Кинематика выходного звена пространственных механизмов с вращательными парами зависит только от угловых параметров звеньев [13], поэтому их и необходимо определить при проектировании. При определении линейных параметров необходимо длину одного из звеньев задать произвольно, исходя из функционального назначения механизма и конструктивного исполнения шарнирных узлов, а остальные рассчитываются по приведённым формулам (1), (2).
Анализ и обсуждение результатов исследований. Проектирование пространственных пятизвенников, у которых α4 = α5 = 90°, по воспроизведению возвратно-вращательного движения выходного звена (балансира 4) с рабочими участками на прямом и обратном ходе основано на зависимости между углами поворота кривошипа 1 (входного звена) и ба-
лансира (рисунок 3):
(3)
где α1 – угол скрещивания геометрических осей шарниров кривошипа (звена 1);
φ1 – угол его поворота;
ψ4 – угол поворота балансира.
Рисунок 3 – График зависимости угла поворота выходного звена от угла поворота входного
(ψ4 = f(φ4)), сплошной линией показан график для
Здесь К – угловой коэффициент, характеризующий крутизну прямолинейного участка ав:
(12)
φк – угол, определяющий точку касания касательной LM, проведённой параллельно отрезку ав (см. рисунок 3 и 4).
Угол φ/р, входящий в формулу (12), находится из выражения:
которое получено из формулы (3) заменой в ней φ1 на φIр, +180° и ψ4 на ψр / 2.
Формула (13) получена путём приравнивания частной производной функции ψ4 = f(φ1) коэффициенту K (касательная LM параллельна отрезку ав), то есть:
где φ/к =180° + φк.
Поскольку относительная погрешность Dψ изменяется в широких пределах, а желательно иметь минимальное её значение, то при направленном поиске параметров механизма здесь и далее будем исходить из нижнего предела этой величины [17].
Итак, получена целевая функция Dmax (или Dψ0) и соответствующие формулы, необходимые для синтеза механизма, воспроизводящего возвратно-вращательное движение с рабочими участками на прямом и обратном ходе. Синтез осуществляется в следующем порядке. Задаётся рабочий участок хода балансира ψр. Берётся большее значение n, определяется угол α1 и величина целевой функции Dψ0, которая сравнивается с нижним значением Dψ. При этом должно выполняться условие Dψ0 ≤ Dψ. Если оно не выполняется, то значение n уменьшается на небольшую величину и процесс повторяется до получения Dψ0 ≤ Dψ., либо, если это не удается, до получения Dψi+10 – Dψi ≥ 0., то есть до достижения минимума D max. Затем увеличивается на определённую величину и процесс повторяется до тех пор пока не будет достигнуто условие Dψ0 ≤ Dψ.
Получив требуемую точность и, следовательно, угол α1, определяются остальные параметры: в частности, координаты точки О (начало новой системы координат yφ):
(15)
координаты точки С (начало прямолинейного участка св) в старой системе y4φ1:
(16)
и в новой системе yφ:
а также линейные параметры по формулам (1).
Рассмотрим теперь проектирование пространственных пятизвенников, у которых
α4 = 180° – α5 . Для него имеем:
(18)
где α5 – угол скрещивания геометрических осей шарниров звена 5 (стойки механизма), который может меняться от 70° до 85°.
Рассмотрим случай, когда α1 > 90°. Как видно на графике, кривая ψ4
1. Артоболевский И. И. Теория пространственных механизмов. М.: ОНТИ, 1937. Ч.1. 236 с.
2. Артоболевский И.И. Теория механизмов. М.: «Наука», 1967. 719 с.
3. Дименберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: «Наука», 1982. 336 с.
4. Воробьев Е.И., Дименберг Ф.М. Пространственные шарнирные механизмы. Замкнутые и открытые кинематические цепи. М.: «Наука», 1991. 264 с.
5. Зиновьев Вяч.А. Пространственные механизмы с низшими парами. М. - Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит-ры, 1952. 431 с.
6. Крайнев А.Ф. Словарь - справочник по механизмам / 2-е изд., перераб и доп. М.: Машиностроение, 1987. 560 с.
7. Баранов Г.Г. Кинематика пространственных механизмов // Тр. Военной воздушной академии им. Н.Е. Жуковского. Вып.18. С.3-64.
8. Bennett G.T. A new mechanism // Engineering. 1903. vol. 76. P. 777-778.
9. Brunnthaler K., Schrocker H-P., Husty M. A New Method for the Synthesis of Bennett Mechanisms // Proceedings of CK2005, International Workshop on Computational Kinematics. Cassino: University Innsbruck, 2005. P. 53-61.
10. Oliveira Jr A.A., Carvalho J.C.M. Modeling of the Bennettʹs linkage as leg of a mobile robot // 12 th IFToMM World Congress. Besancon, 2007. Р. 1-6.
11. Chen Y, Baker E.J. Using a Bennett linkage as a connector between other Bennett loops. Proc. IMechE. Vol. 219. 2004. Р. 177-185.
12. Шитиков Б. В. Исследование пространственных шарнирных механизмов. Рукопись. Отчет о научно-исследовательской работе. Казань, 1957. 28 с.
13. Мудров П.Г. Пространственные механизмы с вращательными парами. Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. 264 с.
14. Мудров А.Г. Пространственные механизмы с особой структурой. Казань: РИЦ «Школа», 2003. 300 с.
15. Yarullin M.G., Isyanov I.R., Mudrov A.P. Kinematics of the Connecting Rod of a TwoMobility Five-Link Space Mechanism with a Double Crank // Advances in Mechanical Engineering Selected Contributions from the Conference “Modern Engineering: Science and Education”. Saint Petersburg, 2018.
16. Study of spatial hinge mechanisms and their use in agricultural machines / A.P. Mudrov, A.G. Mudrov, S.M. Yakhin, et al. // BIO Web of Conferences. EDP Sciences. 2020. С. 00012.
17. Левицкая, О.Н., Левицкий, Н.И. Курс теории механизмов и машин. М.: Высшая школа, 1978. 270 с.
