Введение

Рыночные отношения и современные технологии  обработки  деталей строительного производства  требуют постоянного повышения качества готового продукта, снижения его стоимости и поэтому изучение  энергосберегающих  технологий обработки, такие как сепарация  сыпучих материалов в винтовых ситах, актуально и своевременно [1-7].

Исходные данные и экспериментальные условия для уточнения порядка коэффициентов

Рассматривается движение частиц  сыпучих материалов в рабочей камере винтового сита тетраэдальной формы.

Зависимость для определения скорости продольного перемещения частиц сыпучих материалов,   полученная в предыдущих  работах авторов [7], может быть представлена в виде:

       Vz=rtgj-ω1+μ20∙K2π+2φω2+2K1-K01+sinφ,             (1)

где 𝑟- средний радиус винтового  сита, 𝑗 – угол наклона винтовой линии винтового  сита,

K2; K1; K0; μ20-поправочные коэффициенты.

Исходные данные: n=70 об/мин (2,334π = 7,329 с-1); j≈19°30'; P1=24,12 – крупная частица сыпучих материалов D1=2 см, 𝘩= 0,7 см, приведена к шару радиусом: r1=0,9037 см;  P2=8,97 г – мелкая частица сыпучих материалов тоже приведена   к шару радиусом r2 = 0,65 см; длина ребра тетраэдра 𝑎 = 20 см; радиус вписанного в тетраэдр шара 𝑟 = rср ≈ 0,27·a взят за радиус вращения, т.е. средний радиус; VmVBC=12÷23 - соотношение объемов частиц  сыпучих материалов Vm и объема рабочей камеры винтового сита(VBC).

Экспериментальные условия: проведен опыт, где 𝑛 ≈70 об/мин, Vn = 20 об/мин, Vn=20сммин(3,3 мм/с), tобр≈7 мин; LBC = 1,45 м – длина рабочей камеры винтового сита.

Вместо формулы (1) использована упрощенная зависимость  (2).

Если представить:

K10=μ10π6∙γm1S1VmVBC,

т. е., без учета влияния угловой скорости вращения ω винтового сита, можно выразить числовую характеристику K0=K10∙KC0, где KC0- некоторый коэффициент. Коэффициент KC(ω) можно разложить в ряд, представляя

KC(ω)≈KC0+α1ω-ω0+α2(ω-ω0)2,

где, α1,α2 можно найти, используя экспериментальные данные.

Попытаемся использовать только линейные члены от ω в данном разложении, т.е. найти хотя бы коэффициент α1. Тогда K1=K10KC(ω) согласно определению, т. е. имея ввиду разложение в нулевой точке, полагая ω0=0:

K1-K0=K10KC(ω) -K10KC0≅K10KC(ω)-KC0≈α1ω

Используя среднее значение экспериментальной скорости перемещения (см. таблицу 1) при n=70 об/мин (ω=7,329 сек-1) находим α1≈0,01, тогда  значение средней скорости при φ=0 очевидно равно:

Vn ср.=Vnφ=-π2+Vnφ=π22 ,

где Vnφ=-π2=0, т. е., равно половине значения экспериментальной скорости.

В этом случае мы находим:

K1-K0=-K10∙0,01ω,

если считать переменной величиной ω, т.е. если пренебречь μ20∙K2≈0, имеем упрощенную зависимость:

 Vz≈rtqj-ω+ω2-0,02K0∙ω1+sinφ,                                                (2)

где K10=μ10π3∙γm1S1VmVBC.

Итак,  последовательно полагая ξ=VmVBC=15, 13, 12 получаем,  что Vzπ2 возрастает с ростом ξ, что вряд ли нас удовлетворяет (разброс Vz= 3,1÷8,2 мм/с). Следующий итог: используя значение экспериментальной скорости, экстраполируя    при  j=-π4, 0,π4, π2

с учетом построения ряда в форме Маклорена

                             K1ω=K0+11!K10'∙ω+12!K0″∙ω2  + ………                                                             (3)

и рассматривая коэффициенты зависимости  (1) с учетом формулы (3) как неизвестные (берем только K10',  (K10' при ω≈7,33 c-1, Vn≈3,3 мм/с), получаем экспериментальную зависимость:

Vn≈rtqj{-ω++1-0,018π+2φω2-2ω0,7-0,1ω1+sinφ }                      (4)

согласно которой Vn≈4 мм/с (24 см/мин), где Vn - средняя продольная скорость перемещения сыпучих материалов

Vn≈Vzφ=-π2+Vzφ=π22≈12Vz;              Vz-π2=0.

Здесь одновременно получено μ20∙K2 - 0,018 – значение, определяющее  хотя бы порядок изменения остальных коэффициентов выражения  (1). Если принять число соударений для каждой частицы  сыпучих материалов при  – π2 ≤ φ ≤ π 2 изменении 𝘯=20; 5 ≤ K ≤ 20, m ≤ K, то  можно подсчитать (при условии числа соударений с каждой частицей за один оборот ≥40) при 𝖯 ≈0,25, что Pm≈0,615. Тогда значение μ20∙K2≈-0,011 может быть как-то «уточнено» за счет изменения коэффициента Pm при условии, что среднее значение коэффициента скольжения при соударениях μ20≈0,1.

Таким образом: из сопоставления зависимостей (1), (2), (4) следует, что в первую очередь необходимо получить какие-то аналитические зависимости для коэффициентов KCω, KVξ=VmVBC, а затем проводить дальнейшие исследования. Наверное, можно строить зависимости  и частного типа с целью оценки параметров движения и проектируемых параметров при согласовании с экспериментом.

Получение характеристик поправочных коэффициентов в экспериментальных условиях

Зависимость  (1) может быть представлена в общем виде:

                                                 L≈qi∙φ,                                                                                       (5)

где 𝘓 – функционал:

qi=μ0, μ10, μ20, n, k, m, ω, ξ, a, m1, m2 – независимые между собой параметры, из которых нас пока интересует q1=ω1, q2=ξ.

Исходя из физического смысла процесса движения сыпучих материалов, можно считать, что выполнение данной  перестановочной операции

∂L∂qi=ddt∂L∂qi,                                     (6)

где L=dLdt , вполне осуществимо. В этих условиях может возникать по крайней мере две задачи:

1. Использовать экспериментальные данные для зависимости  (5), представляя Kc(ω),KV(ξ)- разложениями в ряды, например Тейлора или Маклорена, считая их непрерывными голоморфными функциями, а затем решать системы линейных уравнений, определяя искомые коэффициенты данных рядов, а следовательно, и находить конкретный вид указанных зависимостей;

2. При неполных экспериментальных данных с целью прогнозирования интересующих нас характеристик. Привлекать соотношения (5) и (6) с учетом экстремального условия

∂L∂qi=0                                                (7)

Приступим непосредственно к решению последней задачи как наименее трудоемкой с целью определения Kc(ω).

Применительно к зависимости (1) условие  (7) означает

∂Vz ∂ω=0,                                               (8)

и дифференцируя правую часть зависимости (1) с учетом формулы (8), запишем:

rtq j-1+∂φ∂ω=0,                       (9)

где согласно выражению (6)

∂φ ∂ω=∂∂t∂φ∂ω,                                    (10)

Подставляя последнее соотношение в формуле (9) и интегрируя, находим экстремальное (частное) значение  производной

∂φ∂ω=t+C ω                                      (11)

где значение постоянной  Сω=∂φ∂ω/t=t0 может быть найдено из начальных условий:

t=t0=0  или  φ=φ0=-π2

 С другой стороны, из формулы (9) следует

∂φ ∂ω=1                                              (12)

Выделим коэффициент Kcω   т.е., представим K1-K0 в виде:

K1-K0=K10Kcω-K0                (13)

Беря φ2 из выражения с учетом зависимости (13) и дифференцируя по  ω, получим:

                       2∙φ∂φ∂ω=2ω1+μ20K2π∙2φ+2μ20∙K2ω2∂φ∂ω  +

 + 2K10∙ K'Cω (1+sinφ)+2[K10∙ Kcω- K0]cosφ dφdω,                                             (14)                                                                  

где в первом приближении будем считать, что ∂K2∂ω=0.

C учетом j0=0, φ0=-π2; t=t0=0 зависимостей (1) и (2) находим Cω=0,  а поэтому формула (14) может быть представлена в частном виде:

φ=ω1+μ20∙K2π+2φ+μ20∙K2∙ω2∙t+K10∙Kcω ' ×