Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
студент
В статье рассмотрены геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер. Во всех вариантах взаимного положения сфер геометрическими местами точек являются две поверхности. Когда центры сфер совпадают геометрическим местом точек, равноудалённых от сфер, будут сферы равные полу сумме и полу разности диаметров исходных сфер. В трех вариантах взаимного положения исходных сфер одна из двух поверхностей геометрических мест точек – двуполостный гиперболоид вращения. Он получается, когда: 1) сферы пересекаются, 2) сферы касаются, 3) наружные поверхности сфер удалены друг от друга. В случае равных сфер двуполостный гиперболоид вращения вырождается в двулистную плоскость, точнее — это вырожденная поверхность второго порядка, имеющая вторую бесконечно удаленную ветвь. Сферы пересекаются - вторым геометрическим местом точек будет эллипсоид вращения. Сферы касаются – второе геометрическое место точек - эллипсоид вращения, выродившийся в прямую, точнее в нуль-квадрику второго порядка – цилиндрическую поверхность с нулевым радиусом. Наружные поверхности сфер удалены друг от друга – вторым геометрическим местом точек будет двуполостный гиперболоид вращения. Малая сфера находится внутри большой– два соосных софокусных эллипсоида вращения. Во всех вариантах взаимного положения сфер одинаковых диаметров общим геометрическим местом равноудалённых точек является плоскость (вырожденная поверхность второго порядка), проходящая через середину перпендикулярного ей отрезка, соединяющего центры исходных сфер. Вторым геометрическим местом точек равноудалённых от двух сфер одинакового диаметра может быть либо эллипсоид вращения (если исходные сферы пересекаются), либо прямая (цилиндрическая поверхность с нулевым радиусом), соединяющая центры исходных сфер, когда исходные сферы коснуться друг друга, либо двуполостный гиперболоид вращения (если продолжать увеличивать расстояние между центрами исходных сфер).
геометрия, начертательная геометрия, геометрические места точек, ГМТ, аналитическая геометрия, прямая, сфера, эллипсоид вращения, двуполостный гиперболоид вращения
1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями [Текст] / И.И. Александров - М.: УРСС 2004. - 176 с.
2. Антонова И.В. Математическое описание частного случая квазивращения фокуса эллипса вокруг эллиптической оси [Текст] / И.В. Антонова, Е.В. Соломонова, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - №. 1. - С. 39-45. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-39-45.
3. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования. Учебник [Текст] / В.Я. Волков - Омск: СибАДИ, 2010. - 252с.
4. Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. - Омск: СИБАДИ, 2010. - 74 с.
5. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Физматгиз, 1963. - 523 с.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] // М.Я. Выгодский. - М.: АСТ: Астрель, 2008. -509 с.
7. Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 69-86. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
8. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 21-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
9. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, О.Л. Даллакян, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 15-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842
10. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377
11. Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / В.И. Вышнепольский. - М., 2000. - 250 с.
12. Гирш А.Г. Как решать задачу. Методические указания по решению задач повышенной сложности [Текст] / А.Г. Гирш. - Омск: СИБАДИ, 1986. - 36 с.
13. Глоговский В.В. Эквидистанты. Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский // Труды Рижской научно-методической конференции. - Рига: РИИГВФ, 1960. - 422 с.
14. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института, т. ХХХ, серия физ.-мат., вып. 1, 1955. - стр. 72-90.
15. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института, т. ХХХVIII, серия физ.-мат., вып. 2, 1956. - стр. 72-90.
16. Е Вин Тун. Построение рецепторных геометрических моделей объектов сложных технических форм [Текст] / Е Вин Тун, Л.В. Маркин // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - С. 44-56. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
17. Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. - Саратов: СГТУ, 2004. - с. 56-58.
18. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: - 3-е изд. [Текст] / Г.С. Иванов. - М: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. - 340 с.
19. Иванов Г.С. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/21528.
20. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 458 с.
21. Кайгородцева Н.В. Поверхности в начертательной геометрии и логико-геометрическое мышление - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. - 184 с.
22. Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. - ПФА РАН, р.802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939-1940 гг. 405 л.
23. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданных девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 3-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
24. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010. - 560 с. - 2015 (2-е изд).
25. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий: Монография [Текст] / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 328 с.
26. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Наумович Н.В. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. - 152 с.
27. Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова. // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 1. - Киев: Вища школа, 1977. - С. 5-6.
28. Павлов В.Е. Дмитрий Иванович Каргин, 1880 - 1949 / В.Е. Павлов, Б.Ф. Тарасов, СПб.: Наука, 1998. - 272 с.
29. Панчук К.Л. Циклографическая интерпретация и компьютерное решение одной системы алгебраических уравнений [Текст] / К.Л. Панчук, Е.В. Любчинов // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - С. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12377/article_5dce5e528e4301.77886978.
30. Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. - Калинин: КПИ, 1970. - 41 с.
31. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс: Учеб. пособие [Текст] / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 184 с.
32. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 2. - С. 37-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/19832.
33. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
34. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 14-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5с9201eb1c5f06.47425839.
35. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 3 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 13-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
36. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т.1. - № 3-4. - С. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
37. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. - 2017. - Т.5. - № 1. - С. 73-81. - DOI:https://doi.org/10.12737/25126.
