сотрудник с 01.10.2008 по настоящее время
Россия
В учебном курсе начертательной геометрии рассматривается класс поверхностей, образованный окружностями и названный «Циклические поверхности». Внутри этого класса поверхностей есть так называемые каналовые поверхности. Циклиды Дюпена принадлежат к каналовым поверхностям, но в курсе начертательной геометрии их формирование не рассматривается. Циклиды Дюпена были открыты Пьером Шарлем Франсуа Дюпеном в начале XIX в. и названы в его честь. Сам Дюпен был учеником Гаспара Монжа, как и многие великие ученые Франции того времени. Циклиды Дюпена обычно представляются как огибающие семейства сфер, касающихся трех заданных. Циклиды – единственные поверхности, у которых фокальные поверхности вырождаются в линии, а все линии кривизны являются окружностями. Частными случаями циклид Дюпена является тор, а также коническая и цилиндрическая поверхности вращения. В работе рассмотрено аналитическое представление фокальных линий для общего случая задания циклиды Дюпена. Аналитически доказано, что линии касания вписанных в циклиду сфер являются окружностями, а вырожденная в кривую фокальная поверхность является кривой второго порядка. Выявлены некоторые (девять) свойств этой поверхности. В качестве практического применения циклид Дюпена решены такие общеизвестные классические задачи, как задача Аполлония (о касании трех окружностей четвертой) и задача Ферма (о касании четырех сфер пятой) при помощи опять же классического способа – линейки и циркуля. В первой части статьи приводятся только три способа решения задачи Аполлония исключительно при помощи циркуля и линейки, используя свойства циклид Дюпена.
начертательная геометрия, циклические поверхности, каналовые поверхности, циклида Дюпена, задача Аполлония, задача Ферма.
В учебном курсе начертательной геометрии изучается класс поверхностей, образованный окружностями и названный «Циклические поверхности» [5; 8; 12]. Внутри этого класса поверхностей есть так называемые каналовые поверхности. Циклиды Дюпена принадлежат к каналовым поверхностям, более того, они являются частным случаем [2–4; 6] этих поверхностей, но в курсе начертательной геометрии их формирование не рассматривается.
Циклиды Дюпена были открыты Пьером Шарлем Франсуа Дюпеном (1784–1873) в начале XIX в. и названы в его честь [14]. Дюпен (рис. 1) был учеником Гаспара Монжа, как и многие великие ученые Франции того времени, и являлся почетным членом Петербургской академии наук c 20 декабря 1826 г.
Циклиды Дюпена обычно представляются как огибающие семейства сфер, касающихся трех заданных [4; 6; 7]. Общеизвестная поверхность тор – это частный случай циклид Дюпена. Еще более частный случай – конусы и цилиндры вращения [4]. Циклиды – единственные поверхности, у которых фокальные поверхности вырождаются в линии, а все линии кривизны являются окружностями. На рис. 2–6 представлены гипсовые модели циклид (рисунки взяты из [4]).
Что такое фокальная поверхность? Если к некоторой поверхности провести нормаль, то центры окружностей главных кривизн на этой нормали дадут две точки. Два множества этих точек при перемещении нормали по поверхности создают две фокальные поверхности.
1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.
2. Берже М. Геометрия. Т. 1. М.: Мир, 1984.
3. Берже М. Геометрия. Т. 2. М.: Мир, 1984.
4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
5. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник. М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012.
6. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
7. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М.: ЛИБРОКОМ, 2010.
8. Курс начертательной геометрии / Н.Ф. Четверухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова, А.М. Тевлин, Г.И. Федотов. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956.
9. Левицкий В.С. О теме «Сопряжения» в курсе «Инженерная графика» // Сборник научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Высшая школа, 1980. С. 44-51.
10. Сальков Н.А. Об особенностях оси торовой поверхности переменного радиуса // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 32. Киев: Будiвельник, 1981. С. 113-115.
11. Сальков Н.А. Об одном графическом построении гиперболы // Прикл. геометрия и инж. графика. Вып. 34. Киев: Будiвельник, 1982. С. 95-98.
12. Сальков Н.А. Начертательная геометрия. Базовый курс: Учеб. пособие. М.: Инфра-М, 2013.
13. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая - Геометрия. М.: Наука, 1966.
14. Dupin Ch. Développements de géometrié. P., 1813.
