Воронежский государственный университет
УДК 517.938 Теория динамических систем
В статье исследуются задачи, связанные с управлением динамикой системы, задаваемой модифицированным отображением Эно c включённой в нее гистерезисной компонентой. В частности, изучаются возможные модификации предельного множества (аттрактора) отображения Эно в условиях гистерезисного воздействия. Гистерезисная нелинейность формализуется посредством конструктивной модели Прейзаха, которая аппроксимируется системой, состоящей из конечного набора неидеальных реле. Для анализа динамики проводится численное моделирование при различных значениях параметров исследуемого отображения, для которых свойственна хаотическая динамика. С этой целью разработан скрипт на языке Python, моделирующий динамику системы в условиях гистерезисного воздействия, а также обрабатывающий результаты для идентификации динамических режимов. На основе полученных данных, производится сравнительный анализ странных аттракторов модифицированного и классического отображения Эно. Далее исследуется динамика в зависимости от параметров модифицированного отображения Эно. Для идентификации различных динамических режимов строятся бифуркационные диаграммы, рассчитывается старший показатель Ляпунова на основе алгоритма Розенштейна и производится 0-1 тест в зависимости от параметров системы, а также от параметра гистерезисной нелинейности. Отмечается регуляризирующая роль гистерезисного элемента в модифицированном отображении.
Нелинейная динамика, хаос, отображение Эно, гистерезис, модель Прейзаха
1. Scott, A.C. A The Nonlinear Universe: Chaos; Emergence; Life / A. C. Scott - Spinger, 2007 - 271 p.
2. Заславский, Г.М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г.М. Заславский, Р. З. Сагеев. - М. : Наука, 1988. - 368 с.
3. Кузнецов, С.П. Динамический хаос (курс лекций) / С.П. Кузнецов - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 295 с.
4. Лоскутов, А.Ю. Основы теории сложных систем / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов - Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2007. - 620 с.
5. Meleshenko, P.A. Conservative chaos in a simple oscillatory system with non-smooth nonlinearity / P.A. Meleshenko, M.E. Semenov, A.F. Klinskikh // Nonlinear Dynamics. - 2020. - Vol. 101. - Pp. 2523-2540. - DOI:https://doi.org/10.1007/s11071-020-05956-1.
6. Conservative chaos in a class of nonconservative systems: theoretical analysis and numerical demonstrations / S. Cang, A. Wu, R. Zhang [et al.] // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2020. - Vol. 28 (07). - C. 1850087. - DOI:https://doi.org/10.1142/S0218127418500876.
7. Dynamics, synchronization and circuit implementation of a simple fractional-order chaotic system with hidden attractors / M. Wang, X. Liao, Y. Deng [et al.] // Chaos, Solitons & Fractals. - 2020. - Vol. 130. - P. 109406(1-16). - DOI:https://doi.org/10.1016/j.chaos.2019.109406.
8. Gendelman, O. Mixed global dynamics of forced vibro- impact oscillator with Coulomb friction / O. Gendelman, P. Kravetc, D. Rachinskii // Chaos. - 2019. - Vol. 29. - P. 113116. - DOI:https://doi.org/10.1063/1.5095627.
9. Гонченко, С.В. О трех типах динамики и понятии аттрактора / С.В. Гонченко, Д. В. Тураев // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. - 2017. - Т. 297. - С. 133-157. - DOI:https://doi.org/10.1134/S0371968517020078.
10. The discrete fractional duffing system: Chaos, 0-1 test, C0 complexity, entropy, and control / A. Ouannas, A.A. Khennaoui, S.M. Momani [et al.] // Chaos. - 2020. -Vol. 30. - C. 083131. - DOI:https://doi.org/10.1063/5.0005059.
11. Красносельский, М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский. - М.: Наука, 1983. - 272 с.
12. Mayergoyz, I.D. Mathematical Models of Hysteresis / I.D. Mayergoyz. - Spinger, 1991. - 207 p.
13. Mayergoy, I. Preisach based storage devices and global optimizers / I. Mayergoy, C. Korman // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. - 2020. -Vol. 15(20). - P. 11. - DOI:https://doi.org/10.1051/mmnp/2019051.
14. Weiss, P. de Etude de l|’aimantation initiale enfunction de la temperature / P. Weiss, J. Freundereich // Archives des sciences physiques et naturelles (Geneve). - 1916. - Vol. 42. - P. 449. - DOI:https://doi.org/10.5169/seals-743315.
15. Preisach, F. Uber die magnetische Nackwiking / F. Preisach, Z. Physik. - 1935. - Vol. 94. - Pp. 277-302. - DOI:https://doi.org/10.1007/BF01349418.
16. A model of optimal production planning based on the hysteretic demand curve / M.E. Semenov, S.V. Borzunov, P.A. Meleshenko, A.V. Lapin // Mathematics. - 2022. - Vol. 10(18). - P. 3262. - DOI:https://doi.org/10.3390/math10183262.
17. Stochastic Model of a Hysteresis Converter with a Domain Structure / S.V. Borzunov, M.E. Semenov, N.I. Sel’vesyuk [et al.] // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2022. - Vol. 14(2). - Pp. 305-321. - DOI:https://doi.org/10.1134/S207004822202003X.
18. Lacarbonara, W. Nonclassical Responses of Oscillators with Hysteresis / W. Lacarbonara, F. Vestroni // Nonlinear Dynamics. - 2003. - Vol. 32. - Pp. 235-258. - DOI: 10.1023 /A:1024423626386.
19. Сharalampakis, A.E. The response and dissipated energy of Bouс - Wen hysteretic model revisited / A.E. Сharalampakis // Archive of Applied Mechanics. -2015. - Vol. 85. - Pp. 1209-1223. - DOI:https://doi.org/10.1007/s00419-014-0937-8.
20. Ikhouane, F. On the Hysteretic Bouc - Wen Model. Part I: Forced Limit Cycle Characterization / F. Ikhouane, J. Rodellar // Nonlinear Dynamics. - 2005. - Vol. 42. - Pp. 63-78. - DOI:https://doi.org/10.1007/s11071-005-0069-3.
21. Iwan, W.D. A distributed-element model for hysteresis and its steady-state dynamic response / W.D. Iwan // Journal of Applied Mechanics. - 1966. -Vol. 33 (4). - Pp. 893-900. - DOI:https://doi.org/10.1115/1.3625199.
22. Lin, C.-J. Tracking control of a biaxial piezo-actuated positioning stage using generalized Duhem model / C.-J. Lin, P.-T. Lin // Computers and Mathematics with Applications. - 2012 - Vol. 64(5). - Pp. 766-787. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.12.015.
23. Coupled inverted pendulums: stabilization problem / M.E. Semenov, A.M. Solovyov, M.A. Popov, P.A. Meleshenko // Archive of Applied Mechanics. - 2018. - Vol. 88. - Pp. 517-524. - DOI:https://doi.org/10.1007/s00419-017-1323-0.
24. Oscillations Under Hysteretic Conditions: From Simple Oscillator to Discrete Sine-Gordon Model / M.E. Semenov, O.O. Reshetova, A.M. Solovyov [et al.] // Springer Proceedings in Physics. 4th. Vol. «Topics in Nonlinear Mechanics and Physics. Selected Papers from CSNDD 2018». - 2019. - Pp. 229-253. - DOI:https://doi.org/10.1007/978-981-13-9463-8_12.
25. Толкачев, А.В. Дискретная модель синус-Гордона с гистерезисными связями / А.В. Толкачев, П.А. Мелешенко, А.В. Перова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2020. - № 4. - С. 29-39. - DOI:https://doi.org/10.17308/sait.2020.4/3202.
26. Semenov M.E., Efficiency of hysteretic damper in oscillating systems / M.E. Semenov, A. M. Solovyov, P.A. Meleshenko, O.O. Reshetova // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. -2020. -Vol. 15.- C. 43. - DOI:https://doi.org/10.1051/mmnp/2019053.
27. Автоколебания в системе с гистерезисом: метод малого параметра / М.Е. Семенов, О.О. Решетова, С.В. Борзунов [и др.] // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии - 2021. - № 4. - С. 37-53. - DOI:https://doi.org/10.17308/sait.2021.4/3797.
28. Динамика гистерезисно-связанных осцилляторов Ван-Дер-Поля: метод малого параметра / А.Л. Медведский, П.А. Мелешенко, В.А. Нестеров [и др.] // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. - 2021. - Т. 4, № 4. - С. 7-26. - DOI:https://doi.org/10.31857/S0002338821040107.
29. Unstable oscillating systems with hysteresis: problems of stabilization and control / A.L. Medvedsky, P.A. Meleshenko, V.A. Nesterov [et al.] // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2020. - Vol. 59(4). - Pp. 533-556. - DOI:https://doi.org/10.1134/S1064230720030090.
30. Henon, M. A two-dimenshional mapping with a strange attractor / M. Henon // Communications in Mathematical Physics. - 1976. - Vol. 50. - Pp. 69-77. - DOI:https://doi.org/10.1007/BF01608556.
31. Rosenstein, M.T. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets / M.T. Rosenstein, J.J. Collins, C.J. De Luca // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Vol. 65, no. 1. - Pp. 117-134.
32. Gottwald, G.A. The 0-1 Test for Chaos: A review / G.A. Gottwald, I. Melbourne // Chaos Detection and Predictability. Lecture Notes in Physics. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2016. - Vol. 915. - 247 p. - DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-662-48410-4_7.
