Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Фракталы – геометрические объекты, каждая часть которых подобна целому, так что если взять часть и увеличить до размеров целого, разницы заметить будет невозможно. Иными словами, фракталы – множества, обладающие масштабной инвариантностью. В математике они, прежде всего, связаны с недифференцируемыми функциями. Само понятие «фрактал» (от лат. fractus – сломанный, разбитый) ввел Бенуа Мандельброт (1924–2010), французский и американский математик, физик, экономист. Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены на товары имеют определенную тенденцию изменения: колебания в течение дня оказались симметричны длительным колебаниям цены. По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы своего рекурсивного (фрактального) метода. Начиная с последней четверти девятнадцатого века, было создано большое количество фрактальных кривых и плоских объектов, разработаны методы их применения. Наиболее интересными, с геометрической точки зрения, фракталами, являются снежинка Коха и дерево Пифагора. С помощью современной программы трехмерного моделирования были созданы два класса объемных аналогов данных фракталов («фракталы роста» – подобны дереву Пифагора, «фракталы деления» – снежинке Коха), разработана первичная классификация, изучены их свойства. Эмпирические данные обрабатывались как с помощью простейших арифметических вычислений, так и с использованием компьютерных программ. Кроме прочего, для фракталов деления была поставлена задача создания объекта с бесконечной площадью поверхности, который, в перспективе, может приобрести немаловажное значение для развития химической и прочих отраслей промышленности.
фрактал, фрактальные кривые, мономер, дерево Пифагора, снежинка Коха, фракталы роста, фракталы деления.
История фракталов
Фракталы – геометрические объекты, каждая часть которых подобна целому, так что если взять часть и увеличить до размеров целого, разницы заметить будет невозможно. Иными словами, фракталы – множества, обладающие масштабной инвариантностью [1]. В математике же фракталы, прежде всего, тесно связаны с недифференцируемыми функциями. Так, до XIX в. математики имели дело только с функциями, которые задают гладкие кривые [8]. Однако 18 июля 1872 г. Карл Вейерштрасс [12] в Королевской Академии наук Пруссии представил работу, в которой было показано, что для натурального числа a и числа 0 < b < 1 ряд не дифференцируем (рис. 1).
1. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике [Текст] / В.Ф. Асмус. - М.: Мысль, 1965.
2. Баркетова К. Фрактал Дракон Хартера-Хейтуэя [Электронный ресурс] / К. Баркетова // Компьютерная графика. - 2013. - URL: http://grafika.me/node/85
3. Berenschot Erwin J. W., Jansen Henri V., Niels R. Fabrication of 3D fractal structures using nanoscale anisotropic etching of single crystalline silicon // Journal of Micromechanics and Microengineering. - 2013. - Т. 23. - № 5.
4. Болотов В.Н. Обобщенная функция Кантора и переходное фрактальное рассеяние [Текст] / В.Н. Болотов // Журнал технической физики. - 2002. - Т. 72. - № 2. - С. 8-15.
5. Бондаренко М.Ю., Бондаренко С.В. Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения [Электронный ресурс] / М.Ю. Бондаренко, С.В. Бондаренко. - URL: http://www.3dnews.ru/754657
6. Брошкова Н.Л. Математическая теория волн Элиота как инструмент анализа фондового рынка [Электронный ресурс] / Н.Л. Брошкова // Мир. - 2012. - Т. 11. - С. 67-71. - URL: http://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskaya-teoriya-voln-eliota-kak-instrumentanaliza-fondovogo-rynka
7. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи [Текст] / Н.Н. Воробьев. - М.: Наука, 1978.
8. Калинина Е.А. История фрактальной геометрии [Электронный ресурс] / Е.А. Калинина // Математика, которая мне нравится. 2010. - URL: http://hijos.ru/2010/12/26/istoriya-fraktalnoj-geometrii
9. Калинина Е.А. Кривые Гильберта [Электронный ресурс] / Е.А. Калинина // Математика, которая мне нравится. 2014. - URL: http://hijos.ru/2014/03/07/krivye-gilberta
10. Костюкова Н.И. Теория хаоса [Электронный ресурс] / Н.И. Костюкова // Грамота. - 2010. - № 12. - C. 80-84. - URL: http://www.gramota.net/materials/1/2010/12/25.html
11. Koch N.F.H. von. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire. Stockholm. 1904.
12. Кочина П.Я. Карл Вейерштрасс: 1815-1897 [Текст] / П.Я. Кочина. - М.: Наука, 1985.
13. Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса [Текст] / А.Ю. Лоскутов // Успехи физических наук. - 2010. - Т. 180. - № 12. - С. 1305-1329. - DOI:https://doi.org/10.3367/UFNr.0180.201012d.1305.
14. Романовский М.Ю. Функциональные блуждания Леви [Текст] / М.Ю. Романовский // Труды института общей физики им. А.М. Прохорова. - 2009. - Т. 65. - С. 20-28.
15. Шахов Д. Дерево Пифагора [Электронный ресурс] / Д. Шахов // Фракталы и наука. - 2013. - URL: http://m-rush.ru/glavnaya1/item/255-derevo-pifagora.html?tmpl=component&;print=1
16. Шахов Д. Использование 3D-фракталов на наноуровне [Электронный ресурс] / Д. Шахов. - 2013. - URL: http://m-rush.ru/glavnaya1/item/287-ispolzovanie-3-dfraktalov-na-nanourovne.html?tmpl=component&;print=1
17. Шахов Д. Фрактальная молекула [Электронный ресурс] / Д. Шахов. - 2013. - URL: http://m-rush.ru/glavnaya1/item/289-fraktalnaya-molekula.html
18. Швец А.Н. Вывод формулы Бине [Электронный ресурс] / А.Н. Швец. - URL: http://mech.math.msu.su/~shvetz/54/inf/perl-problems/chFibonacci_sIdeas.xhtml
19. Щепин Е.В. О фрактальных кривых Пеано [Текст] / Е.В. Щепин // Труды МИАН. - 2004. - Т. 247. - С. 204-303.
20. Эллиотт Р.Н. Закон природы. Секрет вселенной [Текст] / Р.Н. Эллиотт. - М.: Мир, 2009.
