1. Введение
Земляные сооружения применяются довольно давно. Это плотины, каналы, дамбы (рис. 1), фортификационные сооружения; это – насыпи и выемки при строительстве и реконструкции автомобильных и железных дорог, насыпи и выемки в горнодобывающей промышленности (рис. 2, 3); откосы насыпей и выемок при возведении различных зданий и сооружений в промышленном и гражданском строительстве.
Поверхностями, служащими откосами выемок и насыпей, являются линейчатые поверхности. Это хорошо видно по рис. 1–3.
Линейчатые поверхности используются в технике [2; 3; 7], в строительстве [9; 14; 15], в дизайне, в сельском хозяйстве в горнообрабатывающей промышленности [11]. Любая линейчатая поверхность [22; 23] может быть задана тремя направляющими (линиями и / или поверхностями) и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим. К геометрическим условиям относятся: пересечение с направляющей линией, касание или пересечение под определенным острым углом с направляющей поверхностью.
В литературе по начертательной геометрии для строительных [1; 8; 10], транспортных, горных [6] и архитектурных вузов [4; 5; 18; 20] рассмотрение земляных сооружений находится в разделе проекций с числовыми отметками, однако там приводятся самые простые примеры [24].
В данной работе рассмотрим получение математической модели поверхности земляного сооружения на более высоком уровне: получим математическую модель линейчатой поверхности общего вида.
Имеется некоторая пространственная линия, которая принимается в качестве первой направляющей линейчатой поверхности земляного сооружения. Требуется создать математическую модель поверхности земляного сооружения.
2. Моделирование поверхности земляного сооружения
В [24] представлено моделирование поверхности откоса насыпи (выемки) при задании направляющей линии t в виде наклонной под углом ω прямой (рис. 4). В этом случае наклонную прямую t можно определить, как ∞1 вершин Тi конусов вращения Ωi с вертикальными осями. Огибающей поверхностью этого ∞1 конусов вращения Ωi будет плоскость Σ. Это ∞1 конусов можно заменить на ∞1 образующих прямых li, как показано на рис. 4. Для этого в некотором отдалении от вершины Т i проводим горизонтальную плоскость П, которая пересекает направляющую прямую t в точке К, а сам конус вращения – по окружности m. Касательная КМ к окружности m, проходящая через точку К, дает нам точку касания М i. Тогда прямая Т iM i с углом наклона φ будет являться искомой образующей li. Получающаяся в результате плоскость Σ является искомой плоскостью насыпи, а в случае, если вершина будет находиться ниже плоскости П, – выемки проектируемого земляного сооружения.
Если перейти от рис. 4 к более общей картине формирования геометрической модели поверхности откоса земляного сооружения, то вместо направляющей прямой t берется направляющая пространственная кривая k (рис. 5). Конфигурация – та же самая. Только вместо направляющей прямой линии имеем кривую k, а касательная к ней прямая ti в каждой точке Тi совместно с конусом вращения Ωi с вершиной в той же точке Тi, имеющим угол наклона φ образующих к горизонтальной плоскости П1 дает нам единственную образующую М iТ i. Эта образующая и будет искомой для получения поверхности земляного сооружения.
Как работает эта схема. Образующая li пересекает направляющую k, находится под углом φ ко второй направляющей – плоскости П1 и «касается» ∞1 направляющих плоскостей Σ. Три направляющих, три геометрических условия фиксируют у ∞4 прямых три параметра, оставляя ∞1 прямых, т.е. линейчатую поверхность, которая и будет искомой.
Поскольку поверхность откоса является огибающей ∞1 конусов вращения, возьмем в качестве образующей li одну из образующих конуса. Пусть высота конуса при этом для упрощения расчетов равняется единице (êSS1 ê=1). Образующая конуса выбирается следующим образом. Вершина Тi конуса вращения (рис. 2) принадлежит направляющей k. Через вершину Тi проводится прямая t, касательная к направляющей k в точке Тi, и из точки А пересечения прямой ti с плоскостью основания конуса П1 проводится прямая, касательная к его основанию m в точке Мi. Точка Тi и точка Мi определяют положение образующей откоса.
Вывод
В результате теоретических изысканий была предложена геометрическая модель поверхности земляного сооружения, и разработана ее математическая модель, удобная для использования на компьютере.
На рассмотренном примере еще раз можно убедиться в верности предложенного закона образования линейчатых поверхностей: линейчатая поверхность задается тремя направляющими и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим [22; 23]. При этом предложенный закон образования линейчатой поверхности не противоречит общепризнанной теории параметрической геометрии.
Можно также в очередной раз убедиться в верности того, что именно начертательная геометрия является основой для аналитических выкладок [16], которые впоследствии становятся основой компьютерных программ [17], а поэтому недаром до революции 1917 г. в реальных училищах изучали начертательную геометрию в полном объеме [13; 19]. Тем более, что начертательная геометрия является, и никто этого не опроверг, теорией изображений [12; 21].
