Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Россия
Статья продолжает исследование αβ-триангуляции — оптимальной по критерию минимизации суммы длин β-рёбер триангуляции с выделенным множеством α-треугольников. Ранее модель была определена на евклидовой плоскости и распространена на замкнутые сферические поверхности; обобщение на произвольный род g до сих пор не было получено. Инструментом исследования служит формула Эйлера – Пуанкаре в сочетании с характеристическим равенством V = 3a для αβ-триангуляции. Получены формулы числа β-граней b = 5a + 4g – 4 и числа β-рёбер E β = 6(a + g – 1) для замкнутой αβ-триангуляции рода g. Результаты обобщены на компактные ориентируемые поверхности с произвольным числом компонент границы h: получено точное равенство для b, двойное неравенство для b через тройку (a, g, h) и необходимое условие существования a ≥ h. Все ранее известные результаты — для сферы, для замкнутой поверхности рода g и для топологического диска — получаются как частные случаи. Формулы проверены на 15 замкнутых αβ-триангуляциях родов 1, 2, 4 (вплоть до a = 2884) и на восьми образцах дисков с отверстиями. Полученные результаты позволяют прогнозировать размер αβ-триангуляции до её построения, контролировать корректность алгоритмов и выбирать параметры дискретизации при аппроксимации поверхностей свободной формы полиэдрами с группами конгруэнтных граней.
αβ-триангуляция, эйлерова характеристика, замкнутые поверхности, поверхности с границей, дискретные поверхности
1. Айзенберг А.А. Комбинаторика, топология и алгебра симплициальных комплексов [Текст]: курс лекций / А.А. Айзенберг. — М.: НОЦ Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2016. — 90 с.
2. Александров П.С. Комбинаторная топология [Текст] / П.С. Александров. — 2-е изд. — М. — Л.: Ленанд, 2020. 664 с.
3. Бухштабер В.М. Комбинаторика симплициально клеточных комплексов и торические действия [Текст] / В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. — 2005. — Т. 247. С. 41–58.
4. Галиулин Р.В. Системы Делоне как основа геометрии дискретного мира [Текст] / Р.В. Галиулин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. — Т. 43. — № 6. — С. 790–801.
5. Клячин В.А. Алгоритм триангуляции, основанный на условии пустого выпуклого множества [Текст] / В.А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. 2015. — Т. 3. — С. 27–33.
6. Клячин В.А. Об одном обобщении условия Делоне [Текст] / В.А. Клячин // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. — № 1. — С. 48–50.
7. Коновалова Н.А. Архитектура оперного театра в Дубае: цели и компромиссы [Текст] / Н.А. Коновалова // Современная архитектура мира. — 2022. — Вып. 18. С. 217–232. — DOI:https://doi.org/10.25995/NIITIAG.2022.18.1.011
8. Лебединская Н.А. Преобразование триангуляций при помощи элементарных операций [Текст] / Н.А. Лебединская, Д.М. Лебединский // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 1. С. 84–86.
9. Рустамян В.В. αβ-триангуляция на евклидовой плоскости [Текст] / В.В. Рустамян // Геометрия и графика. 2025. — Т. 13. — № 1. — С. 15–25. — DOI:https://doi.org/10.12737/23084898-2025-13-1-15-25
10. Рустамян В.В. Рекомбинация β-рёбер αβ-триангуляции на евклидовой плоскости [Текст] / В.В. Рустамян, Н.С. Кадыкова // Журнал естественнонаучных исследований. — 2025. — Т. 10. — № 4. — С. 115–120.
11. Рустамян В.В. Развитие теории αβ-триангуляции в трёхмерном евклидовом пространстве [Текст] / В.В. Рустамян // GraphiCon 2025: Материалы 35-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению, Йошкар-Ола, 30 сентября 2 октября 2025 года. — Йошкар-Ола: Изд-во Поволжского гос. технологического университета, 2025. С. 920–929. — DOI:https://doi.org/10.25686/978-5-8158-2474-4-2025920-929
12. Салех М.С. Внедрение цифровых методов на различных этапах архитектурного проектирования [Текст] / М.С. Салех // Архитектура и современные информационные технологии. — 2021. — № 1. — С. 268–278. — DOI:https://doi.org/10.24412/1998-4839-2021-1-268-278
13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2026614351 Российская Федерация. Создание αβ-триангуляции из произвольной триангуляции: заявл. 25.11.2025: опубл. 13.02.2026 / В.В. Рустамян.
14. Сечкин Г.М. О минимальных триангуляциях двумерного многообразия [Текст] / Г.М. Сечкин // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2016. — № 1. — С. 9–16.
15. Скворцов А.В. Алгоритмы построения и анализа триангуляции [Текст] / А.В. Скворцов, Н.С. Мирза. — Томск: Изд-во Томского университета, 2006. — 168 с.
16. Izmestiev I. Simplicial moves on balanced complexes [Text] / I. Izmestiev, S. Klee, I. Novik // Advances in Mathematics. 2017. V. 320. Pp. 82–114. DOI:https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.08.036v
17. Jiménez M.R. Discretizations of Surfaces with Constant Ratio of Principal Curvatures [Text] / M.R. Jiménez, C. Müller, H. Pottmann // Discrete & Computational Geometry. 2020. V. 63. P. 670–704. DOI:https://doi.org/10.1007/s00454-019-00098-7
18. Khan D. Dr. KID: Direct Remeshing and K-set Isometric Decomposition for Scalable Physicalization of Organic Shapes [Text] / D. Khan, C. Bohak, I. Viola // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 2023. DOI:https://doi.org/10.1109/TVCG.2023.3326595
19. Liu Y. Reducing the number of different nodes in space frame structures through clustering and optimization [Text] / Y. Liu, T.-U. Lee, A. Koronaki, N. Pietroni, Y.M. Xie // Engineering Structures. 2023. V. 284. Art. 116016. DOIhttps://doi.org/10.1016/j.engstruct.2023.116016
20. Liu Y. Reducing the Number of Different Faces in FreeForm Surface Approximations Through Clustering and Optimization [Text] / Y. Liu, T.-U. Lee, A. Rezaee Javan, N. Pietroni, Y.M. Xie // Computer-Aided Design. 2024. V. 166. Art. 103633. DOI:https://doi.org/10.1016/j.cad.2023.103633.
21. Pellis D. Architectural freeform surfaces designed for cost-effective paneling through mold re-use [Text] / D. Pellis, M. Kilian, H. Wang, C. Jiang, C. Müller, H. Pottmann // Advances in Architectural Geometry. 2020. Paris: Presses des Ponts, 2021. P. 70–81.
22. Schling E. Repetitive Structures [Text] / E. Schling, R. Barthel // Impact: Design With All Senses: Proceedings of the Design Modelling Symposium Berlin 2019. Cham: Springer, 2019. P. 360–375. DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-03029829-6_29
23. Bi M. Clustering and optimisation of nodes, beams and panels for cost-effective fabrication of free-form surfaces [Text] / M. Bi, Y. Liu, T. Xu, Y. He, J. Ma, Z. Zhuang, Y.M. Xie // Engineering Structures. 2024. Vol. 307. Art. 117912. DOI:https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2024.117912
24. Liu Y. Free-form Surface Approximation Using Rotational Patches [Text] / Liu, Y.M. Xie, T.-U. Lee, Z. Wang, N. Pietroni // ACM Transactions on Graphics. 2025. V. 44. I. 5. Art. 168. DOI:https://doi.org/10.1145/3744707
25. Basak B. Minimal Simplicial Degree d Maps from Genus g Surfaces to the Torus [Text] / Basak, A. Trivedi. arXiv:2505.02386. 2025.
