На обычной евклидовой плоскости может быть задано конечное число прямых, и можно утверждать, что они являются образующими некоторого плоского множества прямых (линейчатого множества). Чтобы утверждать, что данное множество является однопараметрическим семейством, необходимо найти его огибающую, т.е. описать семейство как нелинейный пучок прямых. Для этого используется параметрическая аппроксимация. Большинство задач параметрической аппроксимации точечных множеств хорошо известно и описано. Аппроксимационные задачи для неточечных множеств представляют собой актуальную проблему. Целью данной статьи является способ параметрической аппроксимации плоских линейчатых множеств, которые задаются конечным числом прямых, т.е. являются дискретными и неупорядоченными. Каждая прямая множества может быть задана в явном виде как y = ax + b. Параметрическая аппроксимация является преобразованием заданного дискретного линейчатого множества в непрерывное. Возникают следующие задачи. 1. Задача упорядочивания, т.е. представления заданного хаотичного множества прямых как упорядоченного. Данная задача решается с привлечением понятия ориентированных цепей. В любом хаотичном множестве прямых найдется конечное число ориентированных цепей. Чтобы упорядочить множество, необходимо найти на нем все ориентированные цепи. 2. Задача выбора. Чтобы найти наилучшую аппроксимацию, необходимо выбрать наилучшую, в некотором смысле, ориентированную цепь. Некоторые критерии такого выбора предлагаются. 3. Интерполяция множества коэффициентов уравнений прямых. Непосредственная интерполяция множества коэффициентов приводит к нежелательным осцилляциям множества прямых. В статье предлагается специальная интерполяция множества коэффициентов. Линейчатое множество может иметь кратные точки пересечения, кратные прямые и комбинации кратных точек и прямых. Для некоторых из этих случаев формулируются соответствующие теоремы.
параметрическая аппроксимация, линейчатое множество, упорядоченное множество, ориентированная цепь, интерполяция, кратная прямая
1. Болдырев В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления [Текст] / В.И. Болдырев // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2004. - № 1. - С. 28 - 123.
2. Бубырь Д.С. Применение принципа кусочности при прогнозировании состояния технической системы [Текст] / Д.С. Бубырь // Современные проблемы проектирования, производства и эксплуатации радиотехнических систем. - 2015. - № 1(9). - С. 223-225.
3. Васильев А.А. Некоторые применения вычислительной геометрии к задачам линейного программирования [Текст]/ А.А. Васильев, А.Н. Королева // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика, механика, информатика. - 2009. - Вып. 10. - С. 113-118.
4. Гирш А.Г. Огибающая семейства линий [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 14-18. - DOIhttps://doi.org/10.12737/22839
5. Гольдовская М.Д. Алгоритмы кусочно-линейной аппроксимации сложных зависимостей и их практическое использование [Текст] / М.Д. Гольдовская, Е.В. Бауман, Ю.А. Дорофеюк // Управление развитием крупномасштабных систем MLSD’2008. - 2008. - С. 91-93.
6. Дмитриев А.Г. Алгоритм кусочно-непрерывной аппроксимации экспериментальных кривых [Текст] / А.Г. Дмитриев // Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производств, технология и надежность машин, приборов и оборудования. - 2016. - С. 59-62.
7. Дорофеюк Ю.А. Структурная идентификация сложных объектов управления на базе методов кусочной аппроксимации [Текст] / Ю.А. Дорофеюк // Управление большими системами. - 2010. - № 30. - С.79-88.
8. Иванов Г.С. Нелинейные формы в инженерной графике [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2017. - Т.5. - № 2. - С. 4-12. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5953f295744f77.58727642
9. Иванов Н.В. Иерархические кусочно-линейные модели наблюдений многомерных объектов [Текст] / Н.В. Иванов, В.Ф. Слюсарчук // Вестник Сибирского гос. аэрокосмического университета. - 2007. - № 3(16). - С. 33-36.
10. Кармен Т. Алгоритмы: построение и анализ [Текст] / Т. Кармен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест // М.: МЦМНО, 2000. - 960 с.
11. Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек [Текст] / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 3. - С. 20-32. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5bc457ece18491.72807735
12. Лебедев П.Д. Аппроксимация множеств на плоскости оптимальными наборами кругов [Текст] / П.Д. Лебедев, В.Н. Ушаков // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 3. - С. 79-90.
13. Лигун А.А. Идентификация сложных плоских контуров деталей в условиях автоматизированного производства [Текст] / А.А. Лигун, А.А. Шумейко, В.С. Коротков // Наука - производству. - Киев, 1991. - С. 306-311.
14. Ляшков А.А. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства [Текст] / А.А. Ляшков, К.Л. Панчук, Л.Г. Варепо // Геометрия и графика. - 2017. - Т.5. - № 3. - С. 3-10. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_59bfa3078af4c1.45321238
15. Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента [Текст] / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // Геометрия и графика. - 2019. - Т.7. - № 1. - С. 3-13. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839
16. Препарата Ф. Вычислительная геометрия: Введение [Текст]: пер. с англ. / Ф. Препарата, М. Шеймос. - М.: Мир, 1989. - 478 с.
17. Саркисян Ю.Л. Аппроксимационный синтез механизмов [Текст] / Ю.Л. Саркисян. - М.: Наука, 1982. - 304 с.
18. Сосов Е.Н. Об аппроксимативных свойствах множеств в специальном метрическом пространстве [Текст] / Е.Н. Сосов // Изв. Вузов. Математика. - 1999. - № 6. - С. 81 - 84.
19. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве [Текст]: пер. с англ. / А. Фокс, М. Пратт. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
20. Шенен П. Математика и САПР [Текст]: пер. с франц. В 2-х кн./ П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др. - М.: Мир, 1988.
21. Юрков В.Ю. Математическое моделирование линейчатых моноидальных гиперповерхностей [Текст] / В.Ю. Юрков // Омский научный вестник. - 2015. - № 2(140). - С. 5-7.
22. Dye R.H. The parabola as the envelope of a set of oblique Simson lines of a triangle [Текст] / R.H. Dye // Nieuw Arch. Wiskd. - 1988. - V.4. - № 6. - P.251 -254.
23. Eck M. Multiresolution analysis of arbitrary meches [Текст] / M. Eck, A.D. De Rose, T. Duchamp, H. Hoppe, M. Lounsbery, W. Stuetzle // Proceedings of SIGGRAPH. - 1995. - P. 173 - 182.
24. Edelsbrunner H. Current open problems in discrete and computational geometry [Текст] / H. Edelsbrunner, A. Ivanov, R. Karasev // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012. - Т.19. - № 5. - С. 5-17.
25. Gordon W.J. Blending function method of bivariate and multivariate interpolation and approximation [Текст] / W.J. Gordon // SIAM J. Num. Anal. - 1971. - V.8. - P. 158- 177.
26. Overmars M.H. Maintenance of configurations in the plane [Текст]/ M.H. Overmars, J. van Leeuwen // J. Comput. and Syst. Sci. // 1981. - V. 23. - P. 166-204.
27. Pottmann H. Approximation in line space - applications in robot kinematics and surface reconstruction [Текст] / H. Pottmann, M. Peternell, B. Ravani // Advances in Robot Kinematics: Analysis and Control. - 1998. - P. 403-412.
28. Shcherbatov I. A. Analysis and Modeling of Complex Engineering Systems based on the Component Approach [Текст] / I.A. Shcherbatov, O.M. Protalinskii, V.N. Esaulenko // World Applied Sciences Journal 24 (Information Technologies in Modern Industry, Education and Society). - 2013. - P.276-283.
