Кассель, Германия
Мнимости в геометрии играют большую роль и мало освещены в литературе. Их присутствие в геометрии гораздо шире, чем это на самом деле воспринимается. Работа объясняет статус мнимых образов в геометрии и доказывает, что геометрия становится замкнутой системой только с уче- том ее мнимых образов. Предлагается новый способ построения радикальной оси двух окружностей и хордальных прямых двух коник, опирающийся на инструмент машинной графики «центральное пропорциональное увеличение графического объекта». Способ позволяет выделить из пучка квадрик его линейчатые вырождения.
мнимые точки, мнимые прямые, виды мнимых прямых, мнимый угол, перпендикуляр к мнимой прямой, окружность, коника, квадрика, радикальная ось, хордальная прямая, дилатация, пучок, вырождения в пучке, синтетические и аналитические фигуры, взаимосвязь действительного и мнимого.
Введение
Данная статья преследует цель знакомства преподавателей кафедр графики инженерных вузов с одной существенной особенностью элементарной геометрии, а именно с тем фактом, что геометрия — незамкнутая система и с необходимостью содержит мнимые образы. Как следствие, эта особенность переносится как на начертательную геометрию, так и на инженерную графику. Незнание можно восполнить, но иногда бытует просто элементарная неграмотность. Я встречал преподавателя, который ничтоже сумняшеся задавал плоскость четырьмя произвольно взятыми в пространстве точками. Но такие случаи можно исключить, эти люди наших статей не читают.
Надо сказать, что геометрия — наука сложная. Правила древних греков «смотри и понимай» на сегодня недостаточно. Геометрия оказывается незамкнутой системой знаний. Она решает не все геометрические задачи, даже если они корректно поставлены. В зависимости от условия задачи решение может дать фигуру, не имеющую действительного образа. Простой пример: задача на построение точек пересечения прямой с окружностью дает сбой, если прямая и окружность графически не накладываются. Задача сформулирована корректно, а решения нет. Почему? Не потому, что его нет как такового, а потому, что оно мнимое и геометрия не может его изобразить. Должен ли решающий геометрические задачи (под этим хочется понимать преподавателя, передающего свои знания дальше) иметь понятие о корректном условии, уметь определять число решений и учитывать возможные мнимые решения? Мы считаем, что да и что этому можно научиться.
1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.
2. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова. М.: Маска, 2013.
3. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. М.: Маска, 2008.
4. Гирш А.Г. Обобщение «сечений Вилларсо» на поверхности вращения с образующей коникой // Электронный журнал по прикладной геометрии. URL: http://www.mai.ru/~apg/ Volume 5_n11. htm (2003).
5. Глаголев Н.А. Проективная геометрия: Учеб. пособие. М.: ВШ, 1963.
6. Ливен А.В. Пространство-время и геометрия Минковского: Учеб. пособие. Кемерово, 2002.
7. Общее знакомство с комплексной геометрией. URL: http://www.anhirsch.de
8. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / Короткий В.А.: Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
9. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений. М.: Учпедгиз, 1938.
10. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии - к неевклидовой (вокруг абсолюта). М.: Просвещение, 1979.
11. Hirsсh А. Ехtеnsion оf thе «Villarceau-Sektion» tо Surfaces of Revolution with а Generating Соniс // Jurnal for Сеоmetrу and Graphics, 6(2000/2), р. 121-132.
