Челябинск, Челябинская область, Россия
Доказано, что овальные квадрики вращения с общим фокусом находятся в мнимом двойном соприкосновении. Показано, в частности, что эллипсоиды вращения с общим фокусом не только находятся в двойном соприкосновении, но для них выполняются условия теоремы Монжа.
квадрика; квадратичная инволюция; фокальная точка; изотропные прямые; мнимые касательные плоскости.
Даны овальные квадрики вращения Φ1, Φ2 с осями i1, i2, директориальными плоскостями Δ1, Δ2 и совпавшей парой фокусов F. Докажем, что данные квадрики имеют касание в двух точках.
В сечении квадрик общей плоскостью симметрии H = i1∩i2 получаем конические сечения k1, k2 с директрисами d1 = H∩Δ1, d2 = H∩Δ2 и общим фокусом F (рис. 1). Точке J = d1∩d2 соответствует в поляритетах k1, k2 одна и та же поляра j, инцидентная F и перпендикулярная прямой JF (прямые j и JF соответственны в ортогональной инволюции, установленной кониками k1, k2 в пучке F). Через точку J проходят прямые n = AB и m = UV, где A, B — пара действительных, а U, V — пара мнимых комплексно сопряженных точек пересечения кривых второго порядка k1, k2. Переходя к рассмотрению проективных соответствий в пространстве R3, предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть дана нелинейчатая квадрика вращения Φ (эллипсоид, параболоид или двуполостной гиперболоид) с фокусом F и директориальной плоскостью Δ. Тогда произвольная плоскость Σ связки F пересекает эту квадрику по кривой второго порядка с фокусом F и директрисой d = Δ∩Σ.
1. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2007.
