Москва, г. Москва и Московская область, Россия
В данной статье приводятся результаты исследования геометрических свойств конхоиды Никомеда и косой конхоиды. Косая конхоида в данной работе моделируется новым способом, а именно квазисимметрией относительно эллиптической оси. Используемый способ является преобразованием четвёртого порядка плоскости относительно кривой второго порядка. То есть, прямая при квазисимметрии отображается в кривую четвёртого порядка. Образ прямой в данном случае состоит из двух ветвей, которые стремятся к двум асимптотам. Квазисимметрия позволяет получать косую конхоиду, как частный случай при определённых условиях, а в общем случае – множество других конхоидальных кривых. Применение данного способа позволило обнаружить новые геометрические свойства конхоидальных кривых, в частности найти неописанное ранее конструктивное соответствие между точками, принадлежащими разным ветвям косой конхоиды. В работе сформулированы и доказаны три утверждения, а именно: 1) Образ прямой при её квазисимметрии относительно окружности есть конхоида Никомеда, 2) образ окружности при её квазисимметрии относительно окружности есть кривая шестого порядка, 3) образ прямой параллельной большой полуоси эллипса при её квазисимметрии относительно данного эллипса есть две симметричных относительно малой полуоси эллипса косых конхоиды. Также, выведены уравнения рассматриваемых кривых и их асимптот в общем случае. Результаты выполненных в данной работе исследований расширяют возможности применения конхоидальных кривых при решении задач инженерной геометрии. Например, при моделировании различных физических явлений и процессов, а также при инженерном и архитектурном проектировании.
квазисимметрия, квазивращение, конхоида Никомеда, косая конхоида, конхоидальные кривые
1. Антонова И.В. Математическое описание вращения точки вокруг эллиптической оси в некоторых частных случаях [Текст] / И.В. Антонова, И.А. Беглов, Е.В. Соломонова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 3. - С. 36-50. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840.
2. Беглов И.А. Атлас поверхностей квазивращения: атлас [Текст] / И.А. Беглов. - М.: Инфра-М, 2022. - 76 с.
3. Беглов И.А. Математическое описание метода вращения точки вокруг криволинейной оси второго порядка [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян, И.В. Антонова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 39-46. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5c21f6e832b4d2.25216268.
4. Беглов И.А. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. - 2017. - № 3. - С. 45-50. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490.
5. Бойков А.А. Разработка и применение языка геометрических построений для создания компьютерных геометрических моделей [Текст] / А.А. Бойков // Проблемы машиноведения: материалы V Международной научно-технической конференции, Омск, 16-17 марта 2021 года. - Омск, 2021. - С. 423-429. - DOIhttps://doi.org/10.25206/978-5-8149-3246-4-2021-423-429.
6. Бермант А.Ф. Геометрический справочник по математике. Атлас кривых Ч. 1. [Текст] / А.Ф. Бермант. - М.: ОНГИЗ НКТП, 1937. - 209 с.
7. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 4: геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, Д.С. Пех // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. -№ 3. - С. 12-29. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-12-29.
8. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 5: геометрические места точек, равноудаленных от сферы и плоскости [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 22-34. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-22-34.
9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 157 с.
10. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий, И.Г. Витовтов // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 1. - С. 3-19. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19.
11. Короткий В.А. Конструирование G2-гладкой составной кривой на основе кубических сегментов Безье [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 2. - С. 12-28. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-2-12-28.
12. Короткий В.А. Формообразование линий и поверхностей на основе кривых второго порядка в компьютерном геометрическом моделировании [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 / В.А. Короткий - Нижний Новгород, 2018. - 38 с.
13. Панчук К.Л. Математические основы геометрического моделирования кривых линий [Текст] / К.Л. Панчук, В.Ю. Юрков, Н.В. Кайгородцева. - Омск: ОмГТУ, 2020. - 198 с.
14. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М: АСБ, 2000. - 344 с.
15. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии: учебник для государственных университетов [Текст] / П.К. Рашевский. - М.: ЛКИ, 2008. - 428 с.
16. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения [Текст] / А.А. Савелов. - М.: Либроком, 2014. - 294 с.
17. Сальков Н.А. Об одном способе формирования коник [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 4. - С. 3-12. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-4-3-12.
18. Смогоржевский А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка [Текст] / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. - М.: Физматгиз, 1961. - 263 с.
19. Согомонян К.А. Линейно-конструктивные методы формообразования (геометрическое моделирование) [Текст] / К.А. Согомонян. - Ереван: Айастан, 1990. - 214 с.
20. Сунцов О.С. Исследование отражения от криволинейных зеркал на плоскости в программе Wolfram Mathematica [Текст] / О.С. Сунцов, Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 2. - С. 29-45. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-2-29-45.
21. Сычева А.А. Функционально-воксельное моделирование кривых Безье [Текст] / А.А. Сычева // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 63-72. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-63-72.
22. Beglov I.A. Application of quasi-rotation surface segments in architectural prototyping / I.A. Beglov, V.V. Rustamyan and R.A. Verbitskiy / Text: direct // Journal of Physics: conference series, 15, Omsk, 9-11 Novembre 2021. - Omsk, 2022 - P. 012002. - DOI:https://doi.org/10.1088/1742-6596/2182/1/012002.
23. Beglov I.A. Computer geometric modeling of quasi-rotation surfaces / I.A. Beglov. Text: direct // Journal of physics: conference series: 5. Omsk, 16-17 March 2021. - Omsk, 2021. - P. 012057. - DOIhttps://doi.org/10.1088/1742-6596/1901/1/012057.
24. Beglov I.A. Generation of the surfaces via quasi-rotation of higher order / I.A. Beglov. Text: direct // Journal of physics: conference series: IV International Scientific and Technical Conference «Mechanical Science and Technology Update», MSTU 2020, Omsk, 17-19 March 2020. - Omsk: Institute of physics publishing, 2020. - P. 012032. - DOIhttps://doi.org/10.1088/1742-6596/1546/1/012032.
25. Beglov I.A. N-n-digit interrelations between the sets within the R 2 plane generated by quasi-rotation of R 3 space / I.A. Beglov. Text: direct // Journal of physics: conference series: IV International Scientific and Technical Conference «Mechanical Science and Technology Update», MSTU 2020, Omsk, 17-19 March 2020. - Omsk: Institute of physics publishing, 2020. - P. 012033. - DOIhttps://doi.org/10.1088/1742-6596/1546/1/012033
26. Beglov I.А. Plane tangent to quasi-rotation surface / I.А. Beglov, K.L. Panchuk. Text: direct // CEUR Workshop Proceedings: 30, Saint Petersburg, 22-25 September 2020. - Saint Petersburg, 2020.
27. Panchuk K.L. Spatial spline construction through the Monge model / K.L. Panchuk, T.М. Myasoedova, Yu.A. Rogoza. Text: direct // CEUR Workshop Proceedings: 30, Saint Petersburg, 22-25 September 2020. - Saint Petersburg, 2020. - DOIhttps://doi.org/10.51130/graphicon-2020-2-3-60.
28. Panchuk K.L. Spline curves formation given extreme derivatives / K.L. Panchuk, T.М. Myasoedova, E.V. Lyubchinov. Text: direct // Mathematics. - 2021. - V. 9 (1). - P. 1-29. - DOIhttps://doi.org/10.3390/math9010047.
